什么是蝴蝶定理?

1. 什么是蝴蝶定理?

蝴蝶定理　　 Butterfly theorem 
　　概况：
　　蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 
　　出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 
　　这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 
　　证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 
　　∵△AMD∽△CMB
　　∴AM/CM=AD/BC
　　∵SD=1/2AD，BT=1/2BC 
　　∴AM/CM=AS/CT
　　又∵∠A=∠C 
　　∴△AMS∽△CMT
　　∴∠MSX=∠MTY
　　∵∠OMX=∠OSX=90°
　　∴∠OMX+∠OSX=180°
　　∴O，S，X，M四点共圆
　　同理，O，T，Y，M四点共圆
　　∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
　　∴∠MOX=∠MOY ，
　　∵OM⊥PQ
　　∴XM=YM
　　这个定理在椭圆中也成立，如图
　　１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。
　　（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
　　（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。
　　求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
　　（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
　　求证： | OP | = | OQ |。
　　（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
　　2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
　　（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。
　　（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1
　　焦点坐标为
　　（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k�8�6x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
　　整理，得
　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
　　根据韦达定理，得
　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，
　　所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
　　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
　　x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
　　由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 
　　所以结论成立。
　　（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。
　　由C，P，H共线，得
　　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
　　解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　由D，Q，G共线，同理可得
　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：
　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
　　3．简评
　　本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
　　第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
　　第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。
　　设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得
　　1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
　　设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
　　将①’两边同乘以k1·k2，即得
　　k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
　　它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
　　综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
　　4．赏析：
　　上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？
　　关于圆，有一个有趣的定理：
　　蝴蝶定理 设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。
　　这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。
　　盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？
　　像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？
　　[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。
　　5．启示
　　椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？
　　实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式 
　　证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式　
　　证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证Ｓ△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。 
　　补充：混沌论中蝴蝶定理
　　数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。
　　而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢？ 所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。 
　　蝴蝶定理的推广
　　如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢？
　　所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。
　　证明：引理，如右图，有结论
　　由及正弦定理即可得到：
　　原结论
　　作OM1AD于M1，OM2EH于M2，
　　于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；
　　MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin
　　且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又
　　故原式成立
　　证毕。

2. 蝴蝶定理是什么

　　蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
　　蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
　　去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
        
　　

3. 请问蝴蝶定理是什么？

蝴蝶定理是平面几何的古典结果。

　　蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与B牟垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM

4. 什么叫蝴蝶定理

蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
百科
http://baike.baidu.com/link?url=EhBYsRJHR2pxbt-CByAJToMnoNSqCcSPYLoCRB-vojCSm2aESUw7O8m11ya5_hG3pgYZIxDk6luxnPVnE3cUmq

5. 是么叫蝴蝶定理呀

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名
蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温
   [蝴蝶定理]
蝴蝶定理
首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

6. 什么是蝴蝶定理？

蝴蝶模型基本公式：AD：BC=OA：OC，蝴蝶定理是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W·G·霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。

7. 蝴蝶定理

分类:  教育/科学 >> 科学技术 
   问题描述: 
  
 有关蝴蝶定理的知识
 
   解析: 
  
 自从学习几何画板以来，我一直在思索着这样一个问题：怎么才能把“蝴蝶定理”推广一下。
 
 我想，能不能把“蝴蝶定理”中的圆由一个变为两个，相应的，还保持一种美妙的性质呢？如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢？
 
 我在课下做了一个比较精确的图，并进行了测量，进而提出了猜测：QM*PM = MS*MR，或者QM+PM = MS+MR。我又做了几个图进行检验，结果误差都比较小。上机时，利用几何画板做了一个动画，发现误差变化范围很大。我就开始怀疑这个结论。但是我并不死心。我又进行了测算，终于发现等式：成立，其误差在千分位之后。而后给出了一个数学上的证明。
 
  
 
 这件事使我感觉到几何画板有以下几个妙处：比手工做图方便、精确、直观、连续。
 
 如图I，取圆O内一条弦的中点P，过P点作AB、CD交圆于A、B、C、D点，连AD、BC交弦于E、F点，则EP=PF。这就是著名的“蝴蝶定理”。
 
 题目：过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。这就是蝴蝶定理的推广。
 
 证明：引理，如右图，有结论
 
 由及正弦定理即可得到：
 
 原结论
 
 作OM1AD于M1，OM2EH于M2，
 
 于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；
 
 MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin
 
 且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又
 
 故原式成立
 
 证毕。

8. 什么叫做蝴蝶定理

蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。


蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
蝴蝶定理的证明

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：
1. M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。
2. 圆可以改为任意圆锥曲线。
3. 将圆变为一个筝形，M为对角线交点。
4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:

 ，这对1, 2均成立。
[1-2] 

验证推导
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霍纳证法
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST
可知∠F=∠D；∠C=∠E（同弧所对的圆周角相等）
△ESD∽△CSF（AAA）
证法1:霍纳证法

∴DS/FS=DE/FC
根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2
∴DS/FS=DL/FT
又∵∠D=∠F
∴△DSL∽△FST
∴∠SLD=∠STF
即∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB（垂径定理逆定理）
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆（对角互补的四边形共圆），
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON（同弧所对的圆周角相等）
∴∠SON=∠SOM
∴∠OTS=∠OMS，∠OLS=∠ONS（同弧所对的圆周角相等）
∴∠OMS=∠ONS
∵OS⊥AB
∴在△OSM和△OSN
∠MSO=∠NSO
∠OMS=∠ONS
OS=OS
∴△SOM≌△SON（AAS）
∴MS=NS
作图法
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。




证法2
（证明过程见图片）
证明方法二


对称法
证法3:对称证法

（证明过程见图片）

面积法

请点击输入图片描述
（证明过程见图片）【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】

帕斯卡证法
连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，
连接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共线



证法5:帕斯卡定理证法(2张)
∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
又∵CI、EJ为⊙O直径
∴∠GFK=∠HDK=90°
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°
∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH
又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK（ASA）
∴GM=MH

射影法


1.构造特殊情况：如右图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.
2.中心投影：在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图2，则对应存在P''O''=Q''O''.
3.仿射：将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.